数据结构学习笔记 - 树

在计算机科学中,树(英语:tree)是一种抽象数据类型(ADT)或是实作这种抽象数据类型的数据结构,用来模拟具有树状结构性质的数据集合。它是由n(n>=1)个有限节点组成一个具有层次关系的集合。
树 (数据结构) - 维基百科

叫做“树”是因为它看起来像一棵倒挂的树,也就是说它是根朝上,而叶朝下的。它具有以下的特点:

  • 每个节点有零个或多个子节点
  • 没有父节点的节点称为根节点
  • 每一个非根节点有且只有一个父节点
  • 除了根节点外,每个子节点可以分为多个不相交的子树
  • 任意俩节点有且只有唯一一条路径连接

树的种类

  • 无序树:树中任意节点的子节点之间没有顺序关系,这种树称为无序树,也称为自由树
  • 有序树:树中任意节点的子节点之间有顺序关系,这种树称为有序树
    • 二叉树:每个节点最多含有两个子树的树称为二叉树
      • 完全二叉树:对于一颗二叉树,假设其深度为d(d>1)。除了第d层外,其它各层的节点数目均已达最大值,且第d层所有节点从左向右连续地紧密排列,这样的二叉树被称为完全二叉树
      • 满二叉树:所有叶节点都在最底层的完全二叉树;
      • 平衡二叉树(AVL树):当且仅当任何节点的两棵子树的高度差不大于1的二叉树
      • 排序二叉树(二叉查找树(英语:Binary Search Tree),也称二叉搜索树、有序二叉树)
    • 霍夫曼树:带权路径最短的二叉树称为哈夫曼树或最优二叉树
    • B树:一种对读写操作进行优化的自平衡的二叉查找树,能够保持数据有序,拥有多余两个子树

二叉树 (Binary Tree)

树中使用最为广泛的就是二叉树了。二叉树是一种特殊的树,特点是二叉树的每个节点至多只有二棵子树(不存在度大于2的节点),二叉树的子树有左右之分,次序不能颠倒。

二叉树中还有俩特殊二叉树:

  • 满二叉树 (Full Binary Tree) :二叉树的每一个节点均有俩子节点,或者就是说所有的页节点都有相同的深度。深度为 $k$ 的满二叉树有 $2^k+1 - 1$ 个节点。
  • 完全二叉树 (Complete Binary Tree) :除最后一层外,若其余层都是满的,并且最后一层或者是满的,或者是在右边缺少连续若干节点。具有 $n$ 个节点的完全二叉树的深度为 $log_2 n+1$。深度为 $k$ 的完全二叉树,至少有 $2^{k-1}$ 个节点,至多有 $2^k -1$ 个节点。

代码实现

发现有一个非常棒的项目 Swift Algorithm Club,从理论,示例,代码和性能方面讲述算法,而且还是我最爱的 Swift 实现的。就通过他们的实现来学习一下树~

树的实现

下面是 Swift Algorithm Club 中树的实现:

树的结构体

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public class TreeNode<T> {
public var value: T
public weak var parent: TreeNode?
public var children = [TreeNode<T>]()
public init(value: T) {
self.value = value
}
public func addChild(_ node: TreeNode<T>) {
children.append(node)
node.parent = self
}
}

节点搜索的实现

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extension TreeNode where T: Equatable {
func search(_ value: T) -> TreeNode? {
if value == self.value {
return self
}
for child in children {
if let found = child.search(value) {
return found
}
}
return nil
}
}

二叉树的实现

二叉树结构的实现

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public indirect enum BinaryTree<T> {
case node(BinaryTree<T>, T, BinaryTree<T>)
case empty
}
extension BinaryTree: CustomStringConvertible {
public var description: String {
switch self {
case let .node(left, value, right):
return "value: \(value), left = [\(left.description)], right = [\(right.description)]"
case .empty:
return ""
}
}
}

二叉树生成

使用上面的结构,生成一个二叉树

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// leaf nodes
let node5 = BinaryTree.node(.empty, "5", .empty)
let nodeA = BinaryTree.node(.empty, "a", .empty)
let node10 = BinaryTree.node(.empty, "10", .empty)
let node4 = BinaryTree.node(.empty, "4", .empty)
let node3 = BinaryTree.node(.empty, "3", .empty)
let nodeB = BinaryTree.node(.empty, "b", .empty)
// intermediate nodes on the left
let Aminus10 = BinaryTree.node(nodeA, "-", node10)
let timesLeft = BinaryTree.node(node5, "*", Aminus10)
// intermediate nodes on the right
let minus4 = BinaryTree.node(.empty, "-", node4)
let divide3andB = BinaryTree.node(node3, "/", nodeB)
let timesRight = BinaryTree.node(minus4, "*", divide3andB)
// root node
let tree = BinaryTree.node(timesLeft, "+", timesRight)

生成的二叉树结构为

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value: +,
left = [value: *,
left = [value: 5, left = [], right = []],
right = [value: -,
left = [value: a, left = [], right = []],
right = [value: 10, left = [], right = []]]],
right = [value: *,
left = [value: -,
left = [],
right = [value: 4, left = [], right = []]],
right = [value: /,
left = [value: 3, left = [], right = []],
right = [value: b, left = [], right = []]]]

二叉树的遍历

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/// 中序 In-order (or depth-first): first look at the left child of a node, then at the node itself, and finally at its right child.
public func traverseInOrder(process: (T) -> Void) {
if case let .node(left, value, right) = self {
left.traverseInOrder(process: process)
process(value)
right.traverseInOrder(process: process)
}
}
/// 前(先)序 Pre-order: first look at a node, then at its left and right children.
public func traversePreOrder(process: (T) -> Void) {
if case let .node(left, value, right) = self {
process(value)
left.traversePreOrder(process: process)
right.traversePreOrder(process: process)
}
}
/// 后续 Post-order: first look at the left and right children and process the node itself last.
public func traversePostOrder(process: (T) -> Void) {
if case let .node(left, value, right) = self {
left.traversePostOrder(process: process)
right.traversePostOrder(process: process)
process(value)
}
}

参考