数据结构学习笔记 - 树

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在计算机科学中，树（英语：tree）是一种抽象数据类型（ADT）或是实作这种抽象数据类型的数据结构，用来模拟具有树状结构性质的数据集合。它是由n（n>=1）个有限节点组成一个具有层次关系的集合。
树 (数据结构) - 维基百科

叫做“树”是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。它具有以下的特点：

  • 每个节点有零个或多个子节点
  • 没有父节点的节点称为根节点
  • 每一个非根节点有且只有一个父节点
  • 除了根节点外，每个子节点可以分为多个不相交的子树
  • 任意俩节点有且只有唯一一条路径连接

树的种类

  • 无序树：树中任意节点的子节点之间没有顺序关系，这种树称为无序树，也称为自由树
  • 有序树：树中任意节点的子节点之间有顺序关系，这种树称为有序树
    • 二叉树：每个节点最多含有两个子树的树称为二叉树
      • 完全二叉树：对于一颗二叉树，假设其深度为d（d>1）。除了第d层外，其它各层的节点数目均已达最大值，且第d层所有节点从左向右连续地紧密排列，这样的二叉树被称为完全二叉树
      • 满二叉树：所有叶节点都在最底层的完全二叉树；
      • 平衡二叉树（AVL树）：当且仅当任何节点的两棵子树的高度差不大于1的二叉树
      • 排序二叉树(二叉查找树（英语：Binary Search Tree），也称二叉搜索树、有序二叉树)
    • 霍夫曼树：带权路径最短的二叉树称为哈夫曼树或最优二叉树
    • B树：一种对读写操作进行优化的自平衡的二叉查找树，能够保持数据有序，拥有多余两个子树

二叉树 (Binary Tree)

树中使用最为广泛的就是二叉树了。二叉树是一种特殊的树，特点是二叉树的每个节点至多只有二棵子树(不存在度大于2的节点)，二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒。

二叉树中还有俩特殊二叉树：

  • 满二叉树 (Full Binary Tree) ：二叉树的每一个节点均有俩子节点，或者就是说所有的页节点都有相同的深度。深度为 $k$ 的满二叉树有 $2^k+1 - 1$ 个节点。
  • 完全二叉树 (Complete Binary Tree) ：除最后一层外，若其余层都是满的，并且最后一层或者是满的，或者是在右边缺少连续若干节点。具有 $n$ 个节点的完全二叉树的深度为 $log_2 n+1$。深度为 $k$ 的完全二叉树，至少有 $2^{k-1}$ 个节点，至多有 $2^k -1$ 个节点。

代码实现

发现有一个非常棒的项目 Swift Algorithm Club，从理论，示例，代码和性能方面讲述算法，而且还是我最爱的 Swift 实现的。就通过他们的实现来学习一下树~

树的实现

下面是 Swift Algorithm Club 中树的实现：

树的结构体

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public class TreeNode<T> {
  public var value: T

  public weak var parent: TreeNode?
  public var children = [TreeNode<T>]()

  public init(value: T) {
    self.value = value
  }

  public func addChild(_ node: TreeNode<T>) {
    children.append(node)
    node.parent = self
  }
}

节点搜索的实现

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extension TreeNode where T: Equatable {
  func search(_ value: T) -> TreeNode? {
    if value == self.value {
      return self
    }
    for child in children {
      if let found = child.search(value) {
        return found
      }
    }
    return nil
  }
}

二叉树的实现

二叉树结构的实现

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public indirect enum BinaryTree<T> {
  case node(BinaryTree<T>, T, BinaryTree<T>)
  case empty
}

extension BinaryTree: CustomStringConvertible {
  public var description: String {
    switch self {
    case let .node(left, value, right):
      return "value: \(value), left = [\(left.description)], right = [\(right.description)]"
    case .empty:
      return ""
    }
  }
}

二叉树生成

使用上面的结构，生成一个二叉树

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// leaf nodes
let node5 = BinaryTree.node(.empty, "5", .empty)
let nodeA = BinaryTree.node(.empty, "a", .empty)
let node10 = BinaryTree.node(.empty, "10", .empty)
let node4 = BinaryTree.node(.empty, "4", .empty)
let node3 = BinaryTree.node(.empty, "3", .empty)
let nodeB = BinaryTree.node(.empty, "b", .empty)

// intermediate nodes on the left
let Aminus10 = BinaryTree.node(nodeA, "-", node10)
let timesLeft = BinaryTree.node(node5, "*", Aminus10)

// intermediate nodes on the right
let minus4 = BinaryTree.node(.empty, "-", node4)
let divide3andB = BinaryTree.node(node3, "/", nodeB)
let timesRight = BinaryTree.node(minus4, "*", divide3andB)

// root node
let tree = BinaryTree.node(timesLeft, "+", timesRight)

生成的二叉树结构为

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value: +,
  left = [value: *,
    left = [value: 5, left = [], right = []],
    right = [value: -,
      left = [value: a, left = [], right = []],
      right = [value: 10, left = [], right = []]]],
  right = [value: *,
    left = [value: -,
      left = [],
      right = [value: 4, left = [], right = []]],
    right = [value: /,
      left = [value: 3, left = [], right = []],
      right = [value: b, left = [], right = []]]]

二叉树的遍历

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/// 中序 In-order (or depth-first): first look at the left child of a node, then at the node itself, and finally at its right child.
public func traverseInOrder(process: (T) -> Void) {
  if case let .node(left, value, right) = self {
    left.traverseInOrder(process: process)
    process(value)
    right.traverseInOrder(process: process)
  }
}
  
/// 前(先)序 Pre-order: first look at a node, then at its left and right children.
public func traversePreOrder(process: (T) -> Void) {
  if case let .node(left, value, right) = self {
    process(value)
    left.traversePreOrder(process: process)
    right.traversePreOrder(process: process)
  }
}

/// 后续 Post-order: first look at the left and right children and process the node itself last.
public func traversePostOrder(process: (T) -> Void) {
  if case let .node(left, value, right) = self {
    left.traversePostOrder(process: process)
    right.traversePostOrder(process: process)
    process(value)
  }
}

参考